Данная статья посвящена подробному разбору классической задачи на движение, которая регулярно встречается в вариантах ЕГЭ по математике (профильный уровень) и физике. В поисковых системах она часто находится по фрагментам условия: «Пешеход велосипедист и мотоциклист находятся в пути 2 ч» или «Из пункта А в пункт В вышел пешеход…». Ниже представлено полное условие, пошаговые решения двумя основными методами (алгебраическим и графическим) и итоговый ответ.
Условие задачи
Полная формулировка задачи (вариант 101 из открытого банка заданий ФИПИ / «РЕШУ ЕГЭ» / «ЕГЭ Тренажер»):
Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Вслед за ним через 2 часа из пункта А выехал велосипедист, а еще через 30 минут — мотоциклист. Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались равномерно и без остановок. Через некоторое время после выезда мотоциклиста оказалось, что к этому моменту все трое находятся на одном расстоянии от пункта В. На сколько минут раньше пешехода в пункт В прибыл велосипедист, если пешеход прибыл в пункт В на 1 час позже мотоциклиста?
Ключевые данные:
- Задержка старта велосипедиста относительно пешехода: 2 часа (120 минут).
- Задержка старта мотоциклиста относительно велосипедиста: 30 минут (всего 150 минут после пешехода).
- Момент встречи (точка C): все трое находятся на одном расстоянии от пункта В одновременно.
- Разница во времени прибытия в пункт В: Пешеход опоздал к Мотоциклисту на 60 минут.
- Вопрос: На сколько минут Велосипедист приехал раньше Пешехода?
Метод 1: Алгебраический (через геометрическую прогрессию)
Это наиболее элегантное и быстрое аналитическое решение, используемое в официальных разборах (например, на сайте РЕШУ ЕГЭ).
Пусть t — время (в минутах), которое Мотоциклист провел в пути от старта до момента встречи в точке C.
Тогда время в пути остальных участников к этому же моменту:
- Велосипедист: t + 30 минут (стартовал на 30 мин раньше).
- Пешеход: t + 150 минут (стартовал на 2 ч = 120 мин раньше велосипедиста + 30 мин = 150 мин раньше мотоциклиста).
Шаг 2: Связь скоростей и времен (Геометрическая прогрессия)
Так как все трое прошли одинаковое расстояние от А до С (обозначим его S), и двигались равномерно, их скорости обратно пропорциональны затраченному времени:
v = S / t
Следовательно, скорости образуют возрастающую геометрическую прогрессию (чем меньше время, тем больше скорость), а времена — убывающую. Обозначим знаменатель прогрессии времен как k (k > 1).
Тогда:
- t + 30 = k * t → 30 = t(k ⸺ 1) → t = 30 / (k ⸺ 1)
- t + 150 = k * (t + 30) = k² * t
Шаг 3: Нахождение знаменателя прогрессии k
Подставим выражение для t во второе уравнение:
30/(k-1) + 150 = k² * 30/(k-1)
Умножим все на (k ⸺ 1):
30 + 150(k ⎯ 1) = 30k²
30 + 150k ⎯ 150 = 30k²
150k ⸺ 120 = 30k²
Разделим на 30:
k² ⸺ 5k + 4 = 0
Корни уравнения: k₁ = 1 (не подходит, скорости бы совпали) и k = 4.
Шаг 4: Определение времени в пути до точки C
t = 30 / (4 ⸺ 1) = 10 минут — время мотоциклиста до точки С.
- Мотоциклист: 10 мин
- Велосипедист: 10 + 30 = 40 мин
- Пешеход: 10 + 150 = 160 мин
Проверка: 10, 40, 160, геометрическая прогрессия со знаменателем 4. Верно.
Шаг 5: Анализ второго участка пути (от точки C до пункта В)
Скорости не менялись, значит, отношение времен на втором участке пути (С → В) такое же, как и на первом (А → С), то есть 1 : 4 : 16 (для Мотоциклиста : Велосипедиста : Пешехода).
Пусть x — время мотоциклиста на участке С → В.
- Мотоциклист: x
- Велосипедист: 4x
- Пешеход: 16x
По условию Пешеход прибыл на 60 минут позже Мотоциклиста:
16x ⸺ x = 60
15x = 60
x = 4 минуты
Шаг 6: Ответ на вопрос задачи
Найдем разницу во времени прибытия Велосипедиста и Пешехода:
Время пешехода на 2-м участке ⸺ Время велосипедиста на 2-м участке = 16x ⎯ 4x = 12x
12 * 4 = 48 минут
Метод 2: Графический (Координатный метод)
Этот метод наглядно демонстрирует суть задачи и часто используется в школьном курсе физики и математике (описан на ЕГЭ Тренажере).
Построение графика
- Ось абсцисс (X) — время (в минутах), отсчитываемое от старта Пешехода.
- Ось ординат (Y) — пройденное расстояние от пункта А.
- Движение равномерное → графики — прямые линии, проходящие через точки старта каждого участника.
Ключевые точки на графике:
- Пешеход: Начинает в точке (0; 0). Прямая y = vₚ * t.
- Велосипедист: Начинает в точке (120; 0). Прямая y = vᵥ * (t ⎯ 120).
- Мотоциклист: Начинает в точке (150; 0). Прямая y = vₘ * (t ⎯ 150).
Условие «встречи в точке C»
Все три прямые пересекаются в одной точке C с координатами (T; S), где T, момент встречи (от старта пешехода), S — расстояние АС.
Наклоны прямых, это скорости. Так как прямые пересекаются в одной точке, треугольники, образованные этими прямыми и осью времени, подчиняются теореме Фалеса (подобию треугольников).
Рассмотрим вертикальные катеты треугольников (разницы во времени старта) и горизонтальные катеты (время в пути до встречи).
- Разница стартов М и В: 30 мин.
- Разница стартов В и П: 120 мин.
Отношение скоростей (наклонов) равно обратному отношению времен в пути до встречи. Пусть время мотоциклиста до встречи tₘ. Тогда:
tᵥ = tₘ + 30
tₚ = tₘ + 150
Из подобия треугольников (или свойств пропорций):
(tₘ + 30) / tₘ = (tₘ + 150) / (tₘ + 30) = k
Получаем то же уравнение: (tₘ + 30)² = tₘ(tₘ + 150) → tₘ = 10 мин, k = 4.
Дальнейшие расчеты на участке СВ полностью идентичны Методу 1.
Ответ: 48 минут
Велосипедист прибыл в пункт В на 48 минут раньше пешехода.
Обобщение и полезные наблюдения для решения подобных задач
Данная задача относится к классу задач «На встречу/встреча в одной точке при разных стартах». Главные инсайты:
- Свойство геометрической прогрессии: Если несколько тел стартуют из одной точки в разное время и встречаются в одной точке, их времена в пути до встречи образуют геометрическую прогрессию. Знаменатель прогрессии равен отношению скоростей.
- Инвариантность отношения времен: Отношение времен в пути на любом участке пути (А→С, С→В, А→В) постоянно и равно знаменателю прогрессии k (для соседних участников).
- Работа с разницами: Чаще всего удобно ввести переменную для самого быстрого участника (мотоциклиста) и выразить остальные через него и задержки старта.
- Единицы измерения: Всегда приводите время к одной единице (лучше минуты), чтобы избежать ошибок при переводе часов в минуты в конце решения.
Задача о пешеходе, велосипедисте и мотоциклисте — прекрасный пример того, как знание свойств пропорций и геометрической прогрессии позволяет решить задачу ЕГЭ за 2-3 минуты без громоздких систем уравнений. Графический метод служит отличной проверкой и способом визуализации для понимания физического смысла процесса. Ответ 48 минут является устойчивым результатом для данного набора параметров (задержки 2 ч и 30 мин, разница финишей 1 ч).
Материал подготовлен на основе открытых банков заданий ФИПИ («РЕШУ ЕГЭ», «ЕГЭ Тренажер») для образовательных целей.